Le dipôle R,L (chapitre 8 de Physique)
I°) La bobine en convention récepteur :
1. Représentation symbolique
Une bobine est constituée d'un enroulement serré de fil conducteur enrobé d'un matériau isolant. Ce fil conducteur présente
le plus souvent une résistance r de faible valeur.
Une bobine de résistance r est équivalente à l'association en série d'une bobine de résistance nulle et d'un conducteur
ohmique de résistance r, nous utiliserons la représentation symbolique suivante:
2. Etude expérimentale
On réalise le montage ci-dessous.
L'ordinateur permet
de tracer les courbes uL=f(t) et i=f(t) (car 
).
On obtient le graphique suivant:
3. Inductance de la bobine
Pendant une demi-période le courant i est de la forme i=a.t+b et de ce fait, .
La tension aux bornes de la bobine étant elle aussi constante, elle peut s'écrire .
Le coefficient k dépend de la bobine. On posera k=L. L s'appelle inductance de la bobine et s'exprime en Henrys (H),
d'où:
|
avec |
|
uL: tension aux bournes de la bobine en volts (V). |
|
|
L: inductance de la bobine en henrys (H). |
||||
|
di/dt: dérivée par rapport au temps de l'intensité du courant traversant la bobine en ampères par seconde (A.s-1). |
4. Tension aux bornes de la bobine
Si la résistance de la bobine n'est pas négligeable, celle-ci peut-être considérée comme l'association série d'un conducteur
ohmique et d'une bobine de résistance nulle.
La
tension aux bornes de la bobine s'écrit alors:
|
|
avec |
|
uL: tension aux bornes de la bobine en volts (V). |
|
|
L: inductance de la bobine en henrys (H). |
||||
|
r: résistance de la bobine en ohms (W). |
||||
|
i: intensité du courant traversant la bobine en ampères (A). |
||||
|
di/dt: dérivée par rapport au temps de l'intensité du courant traversant la bobine en ampères par seconde (A.s-1). |
Remarques :
 |
Dans le cas où
la bobine est une inductance pure, sa résistance est nulle et la tension à ses
bornes s'écrit  .
|
|
En régime
permanent, le courant est constant (i=cte), la tension aux bornes de la bobine
s'écrit uL=ri: la bobine se comporte comme un conducteur
ohmique.
|
II°) Réponse d'un dipôle RL à un échelon de tension :
1. Etude expérimentale
On réalise le montage ci-contre:
L'ordinateur permet de tracer la courbe i=f(t) (car
). On obtient le graphique suivant:
Interprétation:
| Interrupteur fermé: Le courant s'installe progressivement: la bobine s'oppose à l'apparition de celui-ci. |
| Interrupteur ouvert: Le courant diminue progressivement: la bobine s'oppose à la disparition de celui-ci. |
Conclusion:
Une bobine s'oppose aux variations de l'intensité du courant dans le circuit où
elle se trouve.
2. Réponse en courant :
a. Equation différentielle
D'après la loi d'additivité des tensions:
|
|
|
|
|
|
|
|
uR + uL = E |
=> |
|
=> |
|
b. Solution de l'équation différentielle
Remarque préalable: en régime permanent, le courant est constant.
|
|
|
|
|
|
|
i = cte |
=> |
|
=> |
|
Vérifions que i=A+Be-t/t est solution de l'équation différentielle.
di/dt = -B/t.e-t/t. L'équation différentielle s'écrit alors:
|
|
|
|
|
A+Be-t/t + L/R.(-B/t.e-t/t) = E/R |
=> |
A + B.(1 - L/Rt).e-t/t = E/R |
Cette équation est vérifiée quelque soit le paramètre t, d'où le système:
|
|
|
|
|
|
|
|
A = E/R 1 - L/Rt = 0 |
=> |
|
A = E/R t = L/R |
On en déduit que l'intensité du courant s'écrit i = E/R + B.e-t/t avec t = L/R.
|
|
|
|
|
|
D'autre part, à t = 0, i = 0 |
=> |
0 = E/R + B.e0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
=> |
B = -E/R |
|
|
|
|
|
|
|
|
=> |
i = E/R - E/R.e-t/t |
|
|
|
|
|
|
|
|
=> |
|
Définition: La grandeur t=L/R est appelée constante de temps du circuit. Son unité est la seconde (s).
Remarque: analyse dimensionnelle
|
|
|
|
||||||
|
uR = R.i |
=> |
[R] = [U].[I]-1 |
||||||
|
uL = L.di/dt |
=> |
[L] = [U].[T].[I]-1 |
||||||
|
=> |
|
||||||
|
|
=> |
[L/R] = [T] |
L/R est homogène à un temps.
Remarque: La constante de temps fournit un ordre de grandeur de la durée de la réponse d'un circuit RL.
3. Réponse en tension
|
|
|
|
|
|
uL = L.di/dt |
=> |
uL = L.E/R.(1/t.e-t/t) avec t=L/R |
|
|
|
|
|
|
|
|
=> |
|
Remarque: Détermination de uL à partir de la loi des tensions:
|
|
|
|
|
uL + uR = E |
=> |
uL = E - uR |
|
|
|
|
|
|
=> |
uL = E - R.i |
|
|
|
|
|
|
=> |
uL = E - R.E/R.(1 - e-t/t) |
|
|
|
|
|
|
=> |
uL = E.e-t/t |
4. Détermination de la constante de temps
| Après une durée t, l'intensité est égale à 63% de sa valeur maximale. |
| Après une durée 5t, l'intensité est égale à 99% de sa valeur maximale. |
|
|
|
|
Apparition du courant lors de la fermeture du circuit |
Disparition du courant lors de l'ouverture du circuit |
|
|
|
III°) Énergie emmagasinée dans une bobine
Une bobine d'inductance L traversée par un courant i emmagasine l'énergie magnétique:
|
avec |
|
EL: énergie emmagasinée par la bobine en joules (J). |
|
|
L: inductance de la bobine en henrys (H). |
||||
|
i: intensité du courant traversant la bobine en ampères (A). |
