Les oscillations libres d'un circuit R,L,C

(chapitre 9 de Physique)

 

Introduction : Le circuit du tuner d’une chaîne stéréo permettant de sélectionner une station radio est constitué d’un système

oscillant modélisé par une bobine branchée aux bornes d’un condensateur. Pourquoi et comment un circuit peut-il être le siège

 d’oscillations ?

 

I°) Rappels :

 

II°) Etude expérimentale d’un circuit : R,L,C  (TP n°14) :

A l'aide d'une interface, on obtient un graphe donnant la tension Uc aux bornes du condensateur en fonction du temps ; l'instant t = 0 s étant l'instant où on fait basculer l'interrupteur K de la position 2 à la position 1

a°) Utilisation de l'ordinateur pour visualiser la décharge oscillante d'un condensateur :

 décharg

 

 

Zone de Texte: Un circuit R,L,C série dans lequel le condensateur est initialement chargé est le siège ………………………..
………. amorties

 

       Représenter sur le schéma ci-dessus  les branchements de l'oscilloscope qui permettent de visualiser uG sur la voie B

       et uC sur la voie c .

       Le montage en TP a été réalisé avec une bobine a inductance réglable L et de résistance r  d’environ = 10 W.

       On a pris L = 1 H. On prend une boite de condensateurs. On prendra C = 10 mF. R est une boite de résistances.

       On prendra R = 0 W.

 

Dessiner l'oscillogramme obtenu  sur la voie C .

 

 

Zone de Texte: T(pseudopèriode) = ………
Interprétations:

La tension aux bornes du condensateur à t = 0 s vaut……, le condensateur a emmagasiné une énergie Ec = ½ CE2.

Le condensateur donne son énergie à la bobine ; puis la bobine  ……………………………………………au condensateur.

On appelle oscillations libres les variations de tension aux bornes du condensateur.

Ces dernières sont amorties : la tension max décroît au cours du temps car il y a perte d’énergie par ……………..(lié à la

 résistance r de la bobine).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b°) Influence des différents facteurs :

Expérimentalement nous avons montré que la pseudo-période était indépendante de la ………………………….

Par la suite nous avons fait varier C et L :

Définitions : Pseudo – période : c’est la durée T entre deux valeurs de Uc = OV , la tension variant dans le même sens.

 

Zone de Texte: Définitions : Pseudo – période : c’est la durée T entre deux valeurs de Uc = OV , la tension variant dans le même sens.
 

Si la bobine n’avait pas du tout de résistance les oscillations ne seraient pas ……………………….

On ne parlerait plus de pseudo -période mais de période propre. Cette période propre (sans amortissement) est donnée par la formule :   To=2pÖ(LC) (To en seconde).

 

 

 

C (mF)

10

1

10

L (H)

1

1

0,5

Texpérimental ( ms)

 .....

 .....

..... 

TO= 2p.(ms)

  .....

  .....

  ..... 

 

CONCLUSION : lorsque l’amortissement est faible, la pseudo-pèriode T est ……………………….. à la période propre

  TO d’un circuit L,C sans résistance.

 

Zone de Texte: CONCLUSION : lorsque l’amortissement est faible, la pseudo-pèriode T est ……………………….. à la période propre
  TO d’un circuit L,C sans résistance.
 

 

 

 

         c°) La décharge du condensateur est-elle toujours oscillante ? (influence de la valeur de la résistance) :

Nous choisissons C =10 mF et L = 1 H et nous faisons faire varier R entre 0 et 300 W (de 50 W en 50 W).

 

 

Remarque : En présence de résistance, on peut néanmoins entretenir des oscillations électriques d'amplitude constante

 avec un montage à amplificateur opérationnel. Ce montage est chargé de redonner au circuit R, L, C l'énergie consommée

 dans la résistance R par effet Joule;

 

Il existe une résistance particulière notée Rc qui délimite le régime pseudopériodique d’apériodique : on parle de régime critique

 (Rc : résistance critique) : Rc= …………….

 

III°) Etude théorque du circuit (R)L,C :

uBD
uDA
uAB
a°) Circuit R,L,C :

 

uAB + uBD + uDA =0

ou uC +uR +uL=0 ce qui s'écrit

encore :

 ………………………= 0

……………………….=0

 

Ceci est l’équation différentielle vérifiée par la charge q du condensateur.

 

 

           b°) Etude théorique des oscillations d'un circuit série LC d'amortissement négligeable (R=0 W)  :

                 1)   Tension aux bornes du condensateur :

                      On respecte la convention récepteur u et i de sens contraire.

                      uL = L.di/dt  ;  q = C.uC  ; i = dq/dt = C.duC/dt

                    

                     Loi des tensions : uL + uC = 0        L.C.d2uC/dt2 + uC = 0  ou   d2uC/dt2 + uC /(L.C)= 0 
                     (on peut aussi écrire une équation différentielle pour q)

 

                    La solution de l'équation différentielle précédente est : uC = Um.cos (ω0.t+ φ0)

               Um,   ω0 et    φ0 étant des constantes à déterminer.

 

                    duC/dt = -ω 0.Um.sin(ω0.t+φ0)  ; d2uC/dt2 = - ω02.Um.cos(ω0.t+φ0)

                    d2uC/dt2 + uC/(L.C) = (-ω 02 + 1/(L.C)).Um.cos(ω0.t+φ0) = 0 . Relation valable pour tout t.

                   Il faut donc :  - ω02.+ 1/(L.C) = 0   soit ω 0 = 1/
                  ω
0 est appelée pulsation propre des oscillations électriques , elle s'exprime en rad.s-1

 

                  On utilise les conditions initiales pour déterminer Um et  φ0:

                  à t = 0 s , uC = Um.cos(φ0) ;   φ0est appelé phase à l'origine . Souvent uC = Um ,   φ0= 0  
                  La fonction cosinus varie entre –1 et 1, Um est donc la valeur maximale, appelée amplitude de uC dans ce cas Um = E

                

                  On appelle T0, la période propre des oscillations électriques :  T0 = 2 π/ ω 0 = 2π .

                  T0 s'exprime en s. Dans un régime pseudo-périodique, la pseudo-période est proche de T0

                  La fréquence propre f0 ( ou N0 ) : f0 = 1 / T0

 

                 Analyse dimensionnelle :

                 [L.C] = [L / R].[RC]   ;  or [t] =[RC] = T  et [t] = [L / R] = T donc   [L.C] = T2

 

                 d'où [] = T  ;  a bien la dimension d'un temps

 

 

              2)  Intensité du courant :

               

                 i = dq/dt  ;  q = C.uC = C. Um.cos (ω0.t+φ0 )  
         donc    i = - C.Um.
ω0.sin(ω0.t+φ0)

 

 

IV°) Etude énergétique :

       a°) Cas du circuit R,L,C (résistance non nulle) :

           A l'aide d'un logiciel adapté, il est possible de calculer les énergies emmagasinées dans chaque dipôle
              ainsi que l'énergie totale du circuit. Ces énergies sont les suivantes:
bulletEL: énergie magnétique emmagasinée par la bobine: EL=1/2Li2
bullet EC: énergie électrique emmagasinée par le condensateur: EC=1/2Cuc2
bulletE: énergie totale emmagasinée par le circuit: E = EL + EC

          On peut ainsi tracer les courbes donnant ces énergies en fonction du temps.

       Conclusions:

bulletL'énergie totale du circuit E décroit au cours du temps: E est progressivement dissipée par effet Joule dans le conducteur ohmique.
bulletL'énergie emmagasinée par le condensateur est maximale quand l'énergie emmagasinée par la bobine est nulle et vice versa.
bulletIl y a transfert d'énergie entre le condensateur et la bobine.

      b°) Dans le cas d'un régime périodique (résistance du circuit nulle), l'énergie totale est constante.