Résolution de l'équation différentielle du mouvement d'une chute
verticale avec frottements par la méthode d'Euler
TP n°19 (Physique)
Objectifs :
Utiliser un tableur pour résoudre une équation différentielle du mouvement par la méthode d’Euler.
I°) Réalisation :
a°) Principe
Lors du dernier TP (TP n°18) nous avons établi que l’équation différentielle donnant l’évolution de
la vitesse v d’une bille enmouvement dans un fluide visqueux (liquide vaisselle) pouvait s’écrire sous
la forme :
(Cas où la poussée d’Archimède et la force de frottement ne peuvent être négligées)
Avec : V volume de la bille : 
k :coefficient de frottement fluide
rb : masse volumique de la bille et rf masse volumique du fluide (ici le liquide vaisselle)
Cette résolution par la méthode d’Euler peut s'effectuer à l'aide du tableur Excel.
Méthode d’Euler.
A une date t donnée, on suppose que la dérivée première
est constante pendant un cours intervalle
de temps Dt .
A partir de l'équation
différentielle et des conditions initiales, on calcule la valeur de la dérivée
première : 
(v0 : vitesse initiale) puis on calcule la valeur de la vitesse v1 à la date t1 = t0 + Dt avec la relation :
v1 = v0 +
.Dt
On recommence en considérant la date suivante t2 = t1 + Dt :
et v2 = v1 +
.D
t
b°) Préparation du tableur :
Ø Ouvre le fichier billeacierélèver.xls dans Excel.
Ø Prépare le tableur en inscrivant les valeurs constantes et les conditions initiales qui
correspondent à la chute de la bille en acier (voir tableau ci-dessous) :
Données : coefficient de frottement k = 2,1 10-1 kg.s-1
masse volumique de la bille en acier rb = 7,83 g.mL-1
masse volumique du liquide vaisselle : rf = 1,01 g.mL-1
diamètre de la bille en acier : 15 mm
pas de discrétisation temporelle Dt = 0,01 s
valeur du champ de pesanteur g = 9,81 N.kg-1
Ø
Dans la cellule
D12
programme l’expression du volume V de la bille :
(R : rayon de la bille)
Remarque : Quand vous entrez une donnée dans une formule, pour éviter d’écrire la valeur à chaque fois
il fau taper le numéro de cellule sous la forme $C$5 (par exemple pour le rayon).
Ø
Dans la cellule
A15
programme l’expression de la vitesse limite vL de la bille :
Remarque : Attention aux unités
Ø Colonne du temps : A (Chaque temps est égal au précédent augmenté du pas de calcul : Dt )
Ø Programme la cellule A19 puis recopie sur toute la colonne (aller jusqu’à 0,4 s ) en cliquant
sur lapoignée (dans l’angle inférieur droit de la cellule) et en la tirant vers le bas.
Ø Colonne dérivée de la vitesse : B
Dans la cellule B19, note l’équation différentielle de la vitesse (voir ci-dessus méthode d’Euler)
enutilisant les cellules des conditions expérimentales. Puis tire la formule sur toute la colonne.
Ø Colonne vitesse : C
Reprends l’expression de v1, à
l’instant t0 + Dt ,
en fonction de v0 , et Dt ,
vue dans le
principe dela méthode d’Euler. Programme la cellule C19 puis recopie sur toute la colonne.
Ø Colonne position : D
Donne l’expression de y1, à l’instant t0 + Dt , en fonction de y0 , v1 et Dt .
Programme la cellule D19 puis recopie sur toute la colonne.
Ø Affichage des graphes : Faire un copier collage spécial et afficher les courbes de y(t) et
v(t) sur les mêmes graphiques que ceux obtenus expérimentalement.
Appeler le professeur pour vérifier votre travail puis imprimer (ne pas quitter votre feuille Excel et
enregistrer bien votre travail)
c°) Questions :
* Commenter les graphiques obtenus.
* Repère sur la courbe les deux régimes (transitoire et permanent) et évalue le t (temps pour
que 63 % de la vitesse limite soit atteinte). Comparer la vitesse limite théorique et
expérimentale de la bille.
* Observe les résultats obtenus pour Dt = 0,1 s et conclure.
II°) Exploitations :
On se propose de prévoir, avec la méthode d’Euler, l’évolution de la vitesse d’une boule de pétanque
lâchée dans l’air à plus de 1500 m d’altitude et ce sans vitesse initiale. Deux modèles sont alors
envisageables en ce qui concerne la force de frottement f qui s’applique sur le système étudié f = k.v
ou f = k.v2.
* Précise alors, dans chaque cas, quelle sera l’équation différentielle du mouvement puis ouvrir
boulepétanqueélève.xls dans Excel.
* Sachant qu’au bout de 15 secondes la vitesse d’une boule de pétanque lâchée sans vitesse initiale est
d’environ 100 m.s-1, choisis le modèle le plus adapté. Pour cela modifier l’expression de la dérivée
de la vitesse (pour le deuxième cas) et refaire Le même travail que ci-dessus dans la feuille
boulepétanqueélève.. (On établira des tableaux de 500 lignes). D’autre part pour le 1er modèle
vous n’avez qu’à rentrer les données (les formules sont déjà prêtes).
On prendra : k coefficient de frottement pour une sphère lisse dans l’air : 0,000 42 kg/s
rb masse volumique de la boule de pétanque : 2,89 kg.L-1
rf masse volumique de l’air : 0,0013 kg.L-1
Dt pas du calcul (discrétisation temporelle) : 0,1 s
Diamètre de la boule : 74 mm
* Quelle est la vitesse limite d’une boule de pétanque en chute dans l’air ?
* Au bout de quelle distance, atteint-elle cette vitesse limite ?
III°) Conclusion :
* Quel modèle doit-on choisir pour évaluer la force de frottement dans le cas de la chute d’un objet dans un
fluide visqueux tel que la glycérine, l’huile, le liquide vaisselle… et dans l’air ?
* Pour deux objets sphériques de même volume et d’état de surface identique en chute dans un
même fluide, dequoi dépend la vitesse limite ?
* Quelle est l’expression de cette vitesse limite si on néglige la poussée d’Archimède dans le
liquide visqueux ?
* Même question dans l’air.
* On admet que le modèle de la force de frottement retenu pour la boule de pétanque est aussi celui
correspondant le mieux à la balle de ping-pong (TP n°18), donner la vitesse limite de cette
balle de ping-pong si elle n’était pas attachée à un ballon de baudruche. Justifier l’utilisation
des ballons de baudruche dans le TP 18. Sur quelle grandeur a-t-on « joué » ?
Données : ρballe=0,0884 kg/L , k (le même que ci-dessus), m balle=3,0g
